Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，記函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，（其中），當(dāng)的最大值為時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2)

【解析】

（1）先求得的導(dǎo)函數(shù),并令.通過(guò)對(duì)判別式及的討論,即可判斷單調(diào)性.

（2）根據(jù)（1）可知當(dāng)時(shí),有兩極值點(diǎn),,且兩個(gè)極值點(diǎn)為的兩根.進(jìn)而可得兩個(gè)極值點(diǎn)間的關(guān)系.利用作差法可得的表達(dá)式,并令,及.進(jìn)而通過(guò)求導(dǎo)得的單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)最大值可求得的值.解得,的值.即可得的取值范圍.

（1）.

令,則.

①當(dāng)或,即時(shí),得恒成立,

∴在上單調(diào)遞增.

②當(dāng),即時(shí),

由,得或；

由,得.

∴函數(shù)在和上單調(diào)遞增,

在上單調(diào)遞減.

綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,

在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）得,當(dāng)時(shí),有兩極值點(diǎn),（其中）.

由（1）得,為的兩根,

于是,.

∴

.

令,則.

∵,

∴在上單調(diào)遞減.

由已知的最大值為,

而.

∴.

設(shè)的取值集合為,則只要滿足且中的最小元素為2的集合均符合題意.

又,易知在上單調(diào)遞增,

結(jié)合,可得與是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

而當(dāng),即時(shí),聯(lián)合,

解得,,進(jìn)而可得.

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.