Question

已知實(shí)數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=x²-ax-2a-b，g（x）=a²lnx-（a²+a）lna，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，求函數(shù)F（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對?x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），F(xiàn)（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（結(jié)果用a表示）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)F（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，可得x=a時(shí)，F(xiàn)（x）_min=-2a-b+alna，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）=x²-x-2-lnx．
∴F′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-2a-b-a²lnx+（a²+a）lna．
∴F′（x）=2x-a-

a2

x

=

(x-a)(2x+a)

x

，
∵x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），
∴函數(shù)在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=a時(shí)，F(xiàn)（x）_min=-2a-b+alna，
∵?x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），F(xiàn)（x）＞0恒成立，
∴-2a-b+alna＞0，
∴b＜2a+alna．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．