Question

已知點P（x，y）是圓x²+y²-6x-4y+12=0上的動點，求：
（1）x²+y²的最值；
（2）x+y的最值；
（3）P到直線x+y-1=0的距離d的最值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)z=x²+y²，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)z=x+y，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論
（3）根據(jù)點到直線的距離公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：x²+y²-6x-4y+12=0的標準方程為（x-3）²+（y-2）²=1，圓心為C（3，2），半徑r=1，
（1）設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義為圓上點到原點的距離的平方，
原點到圓心的距離d=

32+22

=

13

，
∴圓上的點到原點的最大距離為

13

+1，最小距離為

13

-1，
則z的最大值為（

13

+1）²=14+2

13

，
z的最大值為（

13

-1）²=14-2

13

．
（2）設(shè)z=x+y，即x+y-z=0，
在圓心C到直線x+y-z=0的距離滿足d≤r，
即

|3+2-z|

2

≤1，
即|z-5|≤

2

，
解得5-

2

≤z≤5+

2

，
即x+y的最大值為5+

2

，最小值為5-

2

．
（3）圓心到直線x+y-1=0的距離d=

|3+2-1|

2

=

4

2

=2

2

＞1，
∴直線和圓相離，
∴P到直線x+y-1=0的距離d的最大值2

2

+1，
d的最小值為2

2

-1．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系以及兩點間的距離公式，點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查學生的計算能力立意數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．本題也可以使用三角換元法進行求解．