Question

已知曲線C：y=e^ax．
（Ⅰ）若曲線C在點（0，1）處的切線為y=2x+m，求實數(shù)a和m的值；
（Ⅱ）對任意實數(shù)a，曲線C總在直線l：y=ax+b的上方，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，y=e^ax在x=0處的切線方程為y-1=y′（0）x，再比較已知條件，可得；
（Ⅱ）原題意可轉化為對于?x，a∈R，e^ax＞ax+b恒成立，法1：進一步轉化為?x，a∈R，e^ax-ax-b＞0恒成立，令g（x）=e^ax-ax-b，分別從a=0和a≠0兩種情況通過求導的方式進一步分析；法2：進一步轉化為?x，a∈R，b＜e^ax-ax恒成立，再令t=ax，則等價于?t∈R，b＜e^t-t恒成立，再通過研究函數(shù)g（t）=e^t-t的性質求解．

解答： 解：（Ⅰ）y'=ae^ax，
因為曲線C在點（0，1）處的切線為L：y=2x+m，
所以1=2×0+m且y'|_x=0=2．
解得m=1，a=2
（Ⅱ）法1：對于任意實數(shù)a，曲線C總在直線的y=ax+b的上方，等價于
?x，a∈R，都有e^ax＞ax+b，
即?x，a∈R，e^ax-ax-b＞0恒成立，
令g（x）=e^ax-ax-b，
①若a=0，則g（x）=1-b，
所以實數(shù)b的取值范圍是b＜1；
②若a≠0，g'（x）=a（e^ax-1），
由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情況如下：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

所以g（x）的最小值為g（0）=1-b，
所以實數(shù)b的取值范圍是b＜1；
綜上，實數(shù)b的取值范圍是b＜1．
法2：對于任意實數(shù)a，曲線C總在直線的y=ax+b的上方，等價于
?x，a∈R，都有e^ax＞ax+b，即
?x，a∈R，b＜e^ax-ax恒成立，
令t=ax，則等價于?t∈R，b＜e^t-t恒成立，
令g（t）=e^t-t，則 g'（t）=e^t-1，
由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情況如下：

t	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（t）	-	0	+
g（t）	↘	極小值	↗

所以 g（t）=e^t-t的最小值為g（0）=1，
實數(shù)b的取值范圍是b＜1．

點評：本題中的導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，是高考中經(jīng)常考查的知識點和方法，特別是第二小問，通過數(shù)形轉化后，對于“?x，a∈R，e^ax-ax-b＞0恒成立，”的處理介紹了兩種方法，對于拓寬學生的思維，拓展學生的思路有一定的指導作用，不過不管是哪種方法，最終都需要用導數(shù)的知識來進一步分析．