Question

【題目】已知對(duì)任意的n∈N* ， 存在a，b∈R，使得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （an2+b）
（1）求a，b的值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述恒等式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （an2+b），

上述等式分別取n=1，2得 ，解得 ，

（2）解：由（1）得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （n2﹣1），

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×（12﹣12）=0，右邊= ×12（12﹣1）=0，等式成立，

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）= k2（k2﹣1），

則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1×[（k2﹣12）+（2k+1）]+2×[（k2﹣22）+（2k+1）]+…+k[（k2﹣k2）+（2k+1）]，

=1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）+（2k+1）（1+2+3+…+k），

= k2（k2﹣1）+（2k+1） k（k+1），

= k（k+1）（k2+3k+2），

= （k+1）2k（k+2），

= （k+1）2[（k+1）2﹣1]，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立，

綜上所述，對(duì)任意n∈N*，原等式成立．

【解析】（1）分別取n=1，2，得到關(guān)于a，b的方程組解得即可，（2）先根據(jù)當(dāng)n=1時(shí)，把n=1代入求值等式成立；再假設(shè)n=k時(shí)關(guān)系成立，利用變形可得n=k+1時(shí)關(guān)系也成立，綜合得到對(duì)于任意n∈N*時(shí)都成立
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)學(xué)歸納法的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．