在斜三棱柱中,平面平面ABC,,,.
(1)求證:;
(2)若,求三棱錐的體積.
(1)證明過程詳見解析;(2).
【解析】
試題分析:本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、三棱錐的體積等基礎知識,考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問,利用面面垂直的性質(zhì)得BC⊥平面A1ACC1,則利用線面垂直的性質(zhì)得A1A⊥BC,由A1B⊥C1C,利用平行線A1A∥C1C,則A1A⊥A1B,利用線面垂直的判定得A1A⊥平面A1BC,則利用線面垂直的性質(zhì)得A1A⊥A1C;第二問,由于為等腰三角形,平面. A1ACC1⊥平面ABC,所以中邊AC上的高為斜三棱柱的高,而三棱錐與三棱錐的體積相等.
(1)因為平面A1ACC1⊥平面ABC,AC⊥BC,所以BC⊥平面A1ACC1,
所以A1A⊥BC.
因為A1B⊥C1C,A1A∥C1C,所以A1A⊥A1B,又BC∩A1B=B,
所以A1A⊥平面A1BC,又A1C?平面A1BC,所以A1A⊥A1C. 5分
(2)由已知及(1),△A1AC是等腰直角三角形,AA1=A1C=2,AC=.
因為平面A1ACC1⊥平面ABC,
所以Rt△A1AC斜邊上的高等于斜三棱柱ABC-A1B1C1的高,且等于. 7分
在Rt△ABC中,AC=BC=,S△ABC=AC·BC=4,
三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC·=. 10分
又三棱錐A1-ABC與三棱錐C-A1B1C1的體積相等,都等于V,
所以三棱錐B1-A1BC的體積V1=V-2×V=. 12分
考點:線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、三棱錐的體積.
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第二次模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
在中,角A,B,C的對邊a,b,c成等差數(shù)列,且,則 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第三次模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知曲線的直角坐標方程為. 以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. P是曲線上一點,,,將點P繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角后得到點Q,,點M的軌跡是曲線.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第三次模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
橢圓的左、右焦點為,過作直線交C于A,B兩點,若是等腰直角三角形,且,則橢圓C的離心率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第三次模擬考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知曲線的直角坐標方程為. 以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. P是曲線上一點,,,將點P繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角后得到點Q,,點M的軌跡是曲線.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第三次模擬考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
橢圓的左、右焦點為,過作直線交C于A,B兩點,若是等腰直角三角形,且,則橢圓C的離心率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省高三下學期調(diào)研考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)滿足=1 且,則=___________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省高三年級模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
生產(chǎn)A,B兩種元件,其質(zhì)量按測試指標劃分為:指標大于或等于82為正品,小于82為次品,現(xiàn)隨機抽取這兩種元件各100件進行檢測,檢測結(jié)果統(tǒng)計如下:
測試指標 | |||||
元件A | 8 | 12 | 40 | 32] | 8 |
元件B | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)試分別估計元件A、元件B為正品的概率;
(2)生產(chǎn)一件元件A,若是正品可盈利50元,若是次品則虧損10元;生產(chǎn)一件元件B,若是正品可盈利100元,若是次品則虧損20元,在(1)的前提下;
(i)求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于300元的概率;
(ii)記X為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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