Question

已知曲線的直角坐標(biāo)方程為. 以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. P是曲線上一點(diǎn)，，，將點(diǎn)P繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到點(diǎn)Q，，點(diǎn)M的軌跡是曲線.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）[2，4].

【解析】

試題分析：本題主要考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、三角函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化公式“，”轉(zhuǎn)化得到曲線的極坐標(biāo)方程，設(shè)出M，P點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用已知條件得P點(diǎn)坐標(biāo)代入到中即可；第二問，由曲線的極坐標(biāo)方程得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的有界性求的最值.

（1）曲線C1的極坐標(biāo)方程為，即．

在極坐標(biāo)系中，設(shè)M(ρ，θ)，P(ρ1，α)，則

題設(shè)可知，． ①

因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C1上，所以． ②

由①②得曲線C2的極坐標(biāo)方程為． 6分

（2）由（1）得

．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719172247588822/SYS201411171917358044516057_DA/SYS201411171917358044516057_DA.013.png">的取值范圍是，所以|OM|的取值范圍是[2，4]． 10分

考點(diǎn)：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、三角函數(shù)最值.