Question

（本小題滿分12分）
如圖，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦、分別過(guò)焦點(diǎn)、，當(dāng)垂直于軸時(shí)，恰好有

(Ⅰ)求橢圓的離心率；
(Ⅱ)設(shè).
①當(dāng)點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，求的值；
②當(dāng)點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試判斷是否為定值？
若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1) (2)(3)

試題分析：（Ⅰ）法一：設(shè)，則.由題設(shè)及橢圓定義得
，消去得，所以離心率. ………………2分
法二：由橢圓方程得，又，，即，可求.
(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)知，，所以橢圓方程可化為.
①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，，直線的方程為.
由得，解得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又，所以，，所以，. ………5分
②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，為定值6.
證明：設(shè)，，則.
若為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，則或，
所以.               ………………7分
若為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則由得，，所以.
又直線的方程為，所以由得
.
，∴.
由韋達(dá)定理得　，所以.　同理.
∴.
綜上證得，當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，為定值6. ………………12分
法二：設(shè)，，則
∵，∴；            ………………6分
又①，②，將、代入②得：
 即③；
③①得：；                               ……………10分
同理：由得，∴，
∴.                                           ……………12分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用聯(lián)立方程組的方法，結(jié)合韋達(dá)定理，以及判別式，來(lái)表示參數(shù)的值，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式化簡(jiǎn)求解為定值，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題。