【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E為CD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說明理由.
(Ⅲ)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°,求AB的長(zhǎng).
【答案】解:(I)以A為原點(diǎn), , , 的方向?yàn)閄軸,Y軸,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E( ,1,0),B1(a,0,1)
故 =(0,1,1), =(﹣ ,1,﹣1), =(a,0,1), =( ,1,0),
∵ =1﹣1=0
∴B1E⊥AD1;
(II)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE.此時(shí) =(0,﹣1,t).
又設(shè)平面B1AE的法向量 =(x,y,z).
∵ ⊥平面B1AE,∴ ⊥B1A, ⊥AE,得 ,取x=1,得平面B1AE的一個(gè)法向量 =(1,﹣ ,﹣a).
要使DP∥平面B1AE,只要 ⊥ ,即有 =0,有此得 ﹣at=0,解得t= ,即P(0,0, ),
又DP平面B1AE,
∴存在點(diǎn)P,滿足DP∥平面B1AE,此時(shí)AP=
(III)連接A1D,B1C,由長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
由(I)知,B1E⊥AD1 , 且B1C∩B1E=B1 .
∴AD1⊥平面DCB1A1 ,
∴ 是平面B1A1E的一個(gè)法向量,此時(shí) =(0,1,1).
設(shè) 與 所成的角為θ,則cosθ= =
∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°,
∴|cosθ|=cos30°= ,即| |= ,解得a=2,即AB的長(zhǎng)為2
【解析】(Ⅰ)由題意及所給的圖形,可以A為原點(diǎn), , , 的方向?yàn)閄軸,Y軸,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,給出圖形中各點(diǎn)的坐標(biāo),可求出向量 與 的坐標(biāo),驗(yàn)證其數(shù)量積為0即可證出兩線段垂直.(II)由題意,可先假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE,求出平面B1AE法向量,可法向量與直線DP的方向向量?jī)?nèi)積為0,由此方程解出t的值,若能解出,則說明存在,若不存在符合條件的t的值,說明不存在這樣的點(diǎn)P滿足題意.(III)由題設(shè)條件,可求面夾二面角的兩個(gè)平面的法向量,利用兩平面的夾角為30°建立關(guān)于a的方程,解出a的值即可得出AB的長(zhǎng)
【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題:
①設(shè)A,B是兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),若|PA|-|PB|=k,則P的軌跡是雙曲線;
②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的弦AB,O為原點(diǎn),若.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓;
③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).
其中正確命題的序號(hào)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng);男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表;
(2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C: 的離心率 ,且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最大值為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共個(gè),生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需分鐘,生產(chǎn)一個(gè)騎兵需分鐘,生產(chǎn)一個(gè)傘兵需分鐘,已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過小時(shí),若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)元,生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)元,生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)元.
(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)與騎兵個(gè)數(shù)表示每天的利潤(rùn)(元);
(2)怎么分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)選修4﹣2:矩陣與變換
設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣A= (a>0)對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值.
(Ⅱ)求A2的逆矩陣.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)(x∈R),對(duì)函數(shù)y=g(x)(x∈R),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)y=h(x)(x∈R),y=h(x)滿足:對(duì)任意的x∈R,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對(duì)稱.若h(x)是g(x)=關(guān)于f(x)=3x+b的“對(duì)稱函數(shù)”,且h(x)>g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺(tái)ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)(12分)設(shè)f(x)=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′(x),若函數(shù)y=f′(x)的圖象關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱,且f′(1)=0
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值.
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