Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C： 的離心率 ，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得a2=3b2，橢圓方程為x2+3y2=3b2

橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離 =

①當(dāng)﹣b≤﹣1時(shí)，即b≥1， 得b=1

②當(dāng)﹣b＞﹣1時(shí)，即b＜1， 得b=1（舍）

∴b=1

∴橢圓方程為

（2）解：假設(shè)M（m，n）存在，則有m2+n2＞1

∵|AB|= ，點(diǎn)O到直線l距離

∴ =

∵m2+n2＞1

∴0＜ ＜1，∴

當(dāng)且僅當(dāng) ，即m2+n2=2＞1時(shí)，S△AOB取最大值 ，

又∵

解得：

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為 或 或 或 ，△AOB的面積為 ．

【解析】（1）由 得a2=3b2 ， 橢圓方程為x2+3y2=3b2 ， 求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離，利用配方法，確定函數(shù)的最大值，即可求得橢圓方程；（2）假設(shè)M（m，n）存在，則有m2+n2＞1，求出|AB|，點(diǎn)O到直線l距離，表示出面積，利用基本不等式，即可確定三角形面積的最大值，從而可求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．