Question

（1）過點(diǎn)P（0，1）作直線l使它被直線l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線l的方程．
（2）已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)斜率為2

2

的直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且|AB|=9，求該拋物線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的一般式方程,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)l₁與l的交點(diǎn)為A（a，8-2a），點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B（-a，2a-6）在l₂上，解得a，然后求出直線l的方程．
（2）直線AB的方程與y²=2px聯(lián)立，從而有4x²-5px+p²=0利用韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式|AB|=x₁+x₂+p=9，求出p從而拋物線方程．

解答： 解：（1）設(shè)l₁與l的交點(diǎn)為A（a，8-2a），（2分）
則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B（-a，2a-6）在l₂上，
代入l₂的方程得-a-3（2a-6）+10=0，解得a=4，
即點(diǎn)A（4，0）在直線l上，（3分）
所以直線l的方程為x+4y-4=0．（5分）
（2）直線AB的方程是y=2

2

（x-

p

2

），（6分）   
與y²=2px聯(lián)立，從而有4x²-5px+p²=0，（7分）
所以：x₁+x₂=

5p

4

，（8分）
由拋物線定義得：|AB|=x₁+x₂+p=9，（9分）
所以p=4，從而拋物線方程是y²=8x．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線方程的求法，考查計(jì)算能力．