Question

已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在閉區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值及相應(yīng)的x值；（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[0，

π

2

]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,轉(zhuǎn)化思想,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式降次升角，通過兩角和的正弦函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)周期公式求ω，
（2）利用正弦函數(shù)的最值求出函數(shù)f（x）的值域；
（3）結(jié)合x 的范圍求出表達(dá)式相位的范圍，確定表達(dá)式的范圍，求出最值，利用不等式恒成立確定m 的范圍即可．

解答： 解：（1）由已知，有：f（x）=cosx•（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

cos²x+

3

4

=

1

2

sinx•cosx-

3

2

cos²x+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=

1

2

sin（2x-

π

3

），-----（3分）
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．------------------------------------（4分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴f（x）_min=f（0）=-

3

4

，f（x）_max=f（

5π

12

）=

1

2

．-------------------------（8分）
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴-

3

4

≤

1

2

sin（2x-

π

3

）≤

1

2

，
∴f（x）_max=

1

2

，f（x）_min=-

3

4

∵不等式|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2
∴|f（x）-m|＜2在x∈[0，

π

2

]上恒成立?m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2
∴-

3

2

＜m＜2-

3

4

，即：m的取值范圍是（-

3

2

，2-

3

4

），
m的取值范圍（-

3

2

，2-

3

4

）------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，周期的求法，函數(shù)的閉區(qū)間上的最值問題，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，考查計(jì)算能力，是�？碱}型，屬于基本知識(shí)的考查．