Question

（2012•黃州區(qū)模擬）設(shè)平面內(nèi)兩定點(diǎn)F₁（-

5

，0），F(xiàn)₂（

5

，0），直線(xiàn)PF₁和PF₂相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為定值-

4

5

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，

1

5

），N為拋物線(xiàn)C₂：y=x²上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線(xiàn)C₂的切線(xiàn)交曲線(xiàn)C₁于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），依題意則有

y

x+ 5

•

y

x- 5

=-

4

5

，(x≠±

5

)，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₁的方程．
（2）設(shè)N（t，t²），則PQ的方程為：y-t²=2t（x-t），聯(lián)立方程組

y=2tx-t2 x2 5 + y2 4 =1

，利用根的判別式和韋達(dá)定理，結(jié)合題設(shè)條件能求出△MPQ面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），
依題意則有

y

x+ 5

•

y

x- 5

=-

4

5

，(x≠±

5

)，
整理得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₁的方程：

x2

5

+

y2

4

=1，（x≠±

5

）．…（4分）
（2）設(shè)N（t，t²），則PQ的方程為：y-t²=2t（x-t），
∴y=2tx-t²，聯(lián)立方程組

y=2tx-t2 x2 5 + y2 4 =1

，
消去y整理得：，有

△=80(4+20t2-t4)＞0 x1+x2= 20t3 4+20t2 x1x2= 5t4-20 4+20t2

，…（8分）
而|PQ|=

1+4t2

×|x1-x2|
=

1+4t2

×

80(4+20t2-t4)

4+20t2

，
dPQ=

1 5 +t2

1+4t2

，…（11分）
由S△MPQ=

1

2

|PQ|dPQ代入化簡(jiǎn)得：
即S△MPQ=

5

10

-(t2-10)2+104

＜

5

10

•

104

=

130

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)t²=10時(shí)，取到最大值．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意根的判別式、韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的靈活運(yùn)用．