Question

（2012•黃州區(qū)模擬）已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），設函數f（x）=

m

•

n

+1．
（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

11

10

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足2bcosA≤2c-

3

a，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積公式以及三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為sin（x-

π

6

）+1，由f（x）=

11

10

，求得sin（x-

π

6

）=

3

5

．再由x∈[0，

π

2

]，求得cos（x-

π

6

）=

4

5

．
再由cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]，利用兩角和差的余弦公式求得結果．
（2）在△ABC中，由條件2bcosA≤2c-

3

a 可得2sinAcosB≥

3

sinA，故 cosB≥

3

2

，B∈（0，

π

6

]，由此求得 f（B）的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）=

m

•

n

+1=

3

sin

x

2

 cos

x

2

-cos²

x

2

=

3

2

sinx-

1+cosx

2

+1=sin（x-

π

6

）+1．…（3分）
∵f（x）=

11

10

，∴sin（x-

π

6

）=

3

5

；  又∵x∈[0，

π

2

]，∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，故 cos（x-

π

6

）=

4

5

．
∴cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]=cos（x-

π

6

）cos

π

6

-sin（x-

π

6

）sin

π

6

=

4 3 -3

10

． …（6分）
（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c-

3

a，可得 2sinBcosA≤2sinC-

3

sinA，∴2sinBcosA≤2sin（A+B）-

3

sinA，
∴2sinBcosA≤2（sinAcosB+cosAsinB）-

3

sinA，2sinAcosB≥

3

sinA，∴cosB≥

3

2

，∴B∈（0，

π

6

]．…（10分）
∴sin（B-

π

6

）∈（-

1

2

，0]，即 f（B）=sin（B-

π

6

）+

1

2

，∴f（B）∈（0，

1

2

]．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數量積公式的應用，兩角和差的正弦、余弦公式，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．