Question

【題目】已知過點且離心率為的橢圓的中心在原點，焦點在軸上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點是橢圓的左準線與軸的交點，過點的直線與橢圓相交于兩點，記橢圓的左，右焦點分別為，上下兩個頂點分別為.當線段的中點落在四邊形內(nèi)（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時需注意：第一步，根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點不定，可由點斜式設(shè)直線方程.第二步，聯(lián)立方程，把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步，求解判別式，計算一元二次方程根.第四步，根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為（）,焦距為，

由題設(shè)條件知，，即，所以，由橢圓過點，則有，解得，，故橢圓的方程為．·······7分

（2）橢圓的左準線方程為,所以點的坐標為（-4,0），

顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為．

設(shè)點的坐標分別為，線段的

中點為，

由

得 ， ① ·······9分

由，

解得 ， ② ·······11分

因為是方程①的兩根，所以，

于是， ·······12分

∵，所以點不可能在軸的右邊．

又直線方程分別為，

所以點在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為

，即 ·······14分

解得，此時②也成立．故直線斜率的取值范圍是． ······16分