Question

曲線y=xsinx在點(diǎn)A（

π

2

，

π

2

），B（-

π

2

，

π

2

））處的切線分別為l₁，l₂，設(shè)l₁，l₂及直線x-2y+2=0圍成的區(qū)域?yàn)镈（包括邊界）．設(shè)點(diǎn)P（x，y）是區(qū)域D內(nèi)任意一點(diǎn)，則x+2y的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的切線方程，作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵y=xsinx，
∴y′=sinx+xcosx，
x=

π

2

，y′=1；x=-

π

2

，y′=-1，
∴l(xiāng)₁：y-

π

2

=x-

π

2

，
即y=x；l₂：y-

π

2

=-（x-

π

2

），即y=-x，
l₁，l₂及直線x-2y+2=0圍成的區(qū)域?yàn)镈（包括邊界），如圖所示，
交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0）、（2，2）、（-

2

3

，

2

3

），
∴在（2，2）處，x+2y的最大值為6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．