【題目】設(shè)橢圓C: + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 點A({2, )在橢圓上,且滿足 =0. (Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)動直線l:y=kx+m與橢圓C交于P,Q兩點,且OP⊥OQ,是否存在圓x2+y2=r2使得l恰好是該圓的切線,若存在,求出r;若不存在,說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)∵ , ∴AF2⊥F1F2 ,
∵A在橢圓上,
∴ ,解得 .
∴ ,解得a2=8,b2=4,.
∴橢圓 .
(Ⅱ)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),
將l:y=kx+m代入 ,整理得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,
∵△>0,
∴8k2﹣m2+4>0,
且 , ,
∴ ,
∵OP⊥OQ,
∴x1x2+y1y2=0,即 ,
∴ ,
由 和8k2﹣m+4>0,得 即可.
∵l與圓x2+y2=r2相切,
∴ ,
存在圓 符合題意.
【解析】(1)由題意可知c=2,將A代入橢圓,列方程組,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;(2)將直線l的方程代入橢圓方程,△>0,根據(jù)韋達定理定理求得x1+x2及x1x2 , 代入直線l方程求得y1y2 , 由OP⊥OQ,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示求得x1x2+y1y2=0,求得m的取值范圍,l與圓x2+y2=r2相切,代入即可求得r的值.
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【題目】已知 , 是非零不共線的向量,設(shè) = + ,定義點集M={K| = },當K1 , K2∈M時,若對于任意的r≥2,不等式| |≤c| |恒成立,則實數(shù)c的最小值為 .
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【題目】去年“十一”期間,昆曲高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在曲靖收費站從7座以下小型汽車中按進收費站的先后順序,每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進行抽樣調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速()分成六段:,,,,,后,得到如圖的頻率分布直方圖.
(I)調(diào)查公司在抽樣時用到的是哪種抽樣方法?
(II)求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;
(III)若從這40輛車速在的小型汽車中任意抽取2輛,求抽出的2輛車車速都在的概率.
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【題目】交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念,記交通指數(shù)為T,其范圍為[0,10],分為五個級別,T∈[0,2)暢通;T∈[2,4)基本暢通;T∈[4,6)輕度擁堵;T∈[6,8)中度擁堵;T∈[8,10]嚴重擁堵.早高峰時段(T≥3),從某市交通指揮中心隨機選取了三環(huán)以內(nèi)的50個交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如右圖. (Ⅰ)這50個路段為中度擁堵的有多少個?
(Ⅱ)據(jù)此估計,早高峰三環(huán)以內(nèi)的三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是多少?
(III)某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘,基本暢通為30分鐘,輕度擁堵為36分鐘;中度擁堵為42分鐘;嚴重擁堵為60分鐘,求此人所用時間的數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值為k.
(1)求k的值;
(2)若a,b,c∈R, +b2=k,求b(a+c)的最大值.
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【題目】某研究小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)之間的關(guān)系,統(tǒng)計得到1至6月份每月9號的晝夜溫差與因患感冒而就診的人數(shù)的數(shù)據(jù),如下表:
日期 | 1月9號 | 2月9號 | 3月9號 | 4月9號 | 5月9號 | 6月9號 |
10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 | |
22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
該研究小組的研究方案是:先從這6組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求回歸方程,再用之前被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)若選取1月和6月的數(shù)據(jù)作為檢驗數(shù)據(jù),請根據(jù)剩下的2至5月的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;(計算結(jié)果保留最簡分數(shù))
(2)若用(1)中所求的回歸方程作預報,得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過2人,則認為得到的回歸方程是理想的,試問該研究小組所得回歸方程是否理想?
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【題目】已知橢圓的長軸長為6,離心率為 ,F(xiàn)2為橢圓的右焦點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)點M在圓x2+y2=8上,且M在第一象限,過M作圓x2+y2=8的切線交橢圓于P,Q兩點,判斷△PF2Q的周長是否為定值并說明理由.
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【題目】(本題滿分12分)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響了的綜合指標.根據(jù)相關(guān)報道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數(shù)的數(shù)據(jù),對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)進行分組統(tǒng)計,結(jié)果如表所示.
組號 | 分組 | 頻數(shù) |
1 | 2 | |
2 | 8 | |
3 | 7 | |
4 | 3 |
(Ⅰ)現(xiàn)從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進行調(diào)研,求至少有1家的融合指數(shù)在的概率;
(Ⅱ)根據(jù)分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數(shù)的平均數(shù).
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