Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2

2

，PA=2，E是線段PC上一點(diǎn)．
（1）若PC⊥平面BDE，求

PE

EC

的值；
（2）若二面角A-PB-C的余弦值為-

3

3

，求線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：向量法,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則P（0，0，2），C（0，2

2

，0），設(shè)B（b，

2

，0），D（-b，

2

，0），（b＞0），設(shè)EC=x，通過解直角三角形PAC，求得E的坐標(biāo)，以及向量PC，BD，BE的坐標(biāo)，由線面垂直的性質(zhì)，得到數(shù)量積為0，解出方程，即可得到；
（2）由（1）得，

AP

=（0，0，2），

AB

=（b，

2

，0），設(shè)平面PAB的法向量為

m

=（x，y，z），運(yùn)用向量垂直的條件，列出方程，求得一個(gè)法向量，同理設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（p，q，r），運(yùn)用向量垂直的條件，列出方程，求得一個(gè)法向量，再由向量的夾角公式，列方程，解得即可得到．

解答： 解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則P（0，0，2），C（0，2

2

，0），
設(shè)B（b，

2

，0），D（-b，

2

，0），（b＞0），
設(shè)EC=x，則在直角三角形PAC中，
PA=2，AC=2

2

，PC=2

3

，
則ECsin∠PCA=

3

3

x，ECcos∠PCA=

6

3

x，
即E（0，2

2

-

6

3

x，

3

3

x），
則

PC

=（0，2

2

，-2），

BD

=（-2b，0，0），

BE

=（-b，

2

-

6

3

x，

3

3

x）．
由于PC⊥平面BDE，
則PC⊥BD，PC⊥BE，則

PC

•

BE

=0，

PC

•

BD

=0，
則

2 2 •( 2 - 6 3 x)+(-2)• 3 3 x=0 0×(-2b)+2 2 ×0-2×0=0

，解得，x=

2 3

3

，
則PE=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

，則

PE

EC

=2；
（2）由（1）得，

AP

=（0，0，2），

AB

=（b，

2

，0），
設(shè)平面PAB的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • AP =2z=0 m • AB =bx+ 2 y=0

，
取

m

=（-

2

，b，0），
由于

PC

=（0，2

2

，-2），

BC

=（-b，

2

，0），
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（p，q，r），則

2 2 q-2r=0 2 q-bp=0

，
取

n

=（

2

，b，

2

b），
由于二面角A-PB-C的余弦值為-

3

3

，即有|cos＜

m

，

n

＞|=

3

3

，
即有|

m • n

| m |•| n |

|=|

-2+b2

2+b2 2+3b2

|=

3

3

，
解得，b=

10

5

．則線段BD的長(zhǎng)為

2 10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂直的判定定理，空間二面角的求法，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題．