如圖,已知?ABCD,直線BC⊥平面ABE,F(xiàn)為CE的中點.
(1)求證:直線AE∥平面BDF;
(2)若∠AEB=90°,求證:平面BDF⊥平面BCE.

【答案】分析:(1)欲證AE∥平面BFD,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AE與平面BFD內(nèi)一直線平行,設(shè)AC∩BD=G,連接FG,
根據(jù)中位線定理可知FG∥AE,而AE?平面BFD,F(xiàn)G?平面BFD,滿足定理所需條件;
(2)欲證平面DBF⊥平面BCE,根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面DBF內(nèi)一直線與平面BCE垂直,根據(jù)線面垂直的判定定理可證得直線AE⊥平面BCE,而FG∥AE,則直線FG⊥平面BCE,而直線FG?平面DBF,滿足定理條件.
解答:證明:(1)設(shè)AC∩BD=G,連接FG.
由四邊形ABCD為平行四邊形,得G是AC的中點.
又∵F是EC中點,∴在△ACE中,F(xiàn)G∥AE.(3分)
∵AE?平面BFD,F(xiàn)G?平面BFD,∴AE∥平面BFD;(6分)
(2)∵,∴AE⊥BE.
又∵直線BC⊥平面ABE,∴AE⊥BC.
又BC∩BE=B,∴直線AE⊥平面BCE.(8分)
由(1)知,F(xiàn)G∥AE,∴直線FG⊥平面BCE.(10分)
又直線FG?平面DBF,∴平面DBF⊥平面BCE.(14分)
點評:本題主要考查了線面平行的判定定理,以及面面垂直的判定定理,同時考查了空間想象能力,推理論證的能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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18、如圖,已知ABCD是矩形,E是以CD為直徑的半圓周上一點,且平面CDE⊥平面ABCD,求證:CE⊥平面ADE.

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(Ⅲ)問在EF上是否存在一點M,使三棱錐M-ACF是正三棱錐?若存在,試確定M點的位置;若不存在,說明理由.

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(2005•普陀區(qū)一模)如圖,已知ABCD和A1B1C1D1都是正方形,且AB∥A1B1,AA1=BB1=CC1=DD1,若將圖中已作出的線段的兩個端點分別作為向量的始點和終點所形成的不相等的向量的全體構(gòu)成集合M,則從集合M中任取兩個向量恰為平行向量的概率是
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(用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果).

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