如圖,已知ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,且AB=FB=2DE.
(Ⅰ)求證:平面AEC⊥平面AFC;
(Ⅱ)求直線EC與平面BCF所成的角;
(Ⅲ)問在EF上是否存在一點M,使三棱錐M-ACF是正三棱錐?若存在,試確定M點的位置;若不存在,說明理由.
分析:(I)以D為坐標原點,DA,DC,DE分別為X,Y,Z軸正言論自由建立空間直角坐標系,分別求出各點坐標,進而求出平面AEC和平面AFC的法向量的坐標,代入向量夾角公式,根據(jù)兩個法向量的數(shù)量積為0,即可得到平面AEC⊥平面AFC;
(II)求出直線EC的方向向量及平面BCF的法向量,代入向量夾角公式,即可得到直線EC與平面BCF所成的角;
(Ⅲ)在EF上存在滿足FM=2ME一點M,使M-ACF是正三棱錐,由已知可得ACF是一個正三角形,只須M在平面ACF上的投影,為三角形ACF的中心即可.
解答:證明:(I)建立如圖坐標系,令A(yù)B=FB=2DE=2
∴D(0,0,0),E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),F(xiàn)(2,2,2)
AE
=(-2,0,1),
EC
=(0,2,-1)
AF
=(0,2,2),
FC
=(-2,0,-2)

設(shè)
m
為面AEC法向量 
m
=(x1y1,z1)

-2x1+z1=0
2y1-z1=0
m
=(1,1,2)
,
設(shè)
n
為面AFC法向量 
n
=(x2y2,z2)

2y2+2z2=0
-2x2-2z2=0
n
=(1,1,-1)

cos<
m
n
>=
1+1-2
4
3
=0

m
n

∴面AEC⊥面AFC.
(Ⅱ)∵
EC
=(0,2,-1)
,
FC
=(-2,0,-2)
,
FB
=(0,0,-2)

設(shè)平面FBC的法向量為
v
=(a,b,c)
v
FC
,且
v
FB

-2a-2c=0
-2c=0
,令b=1
v
=(0,1,0)
設(shè)直線EC與平面BCF所成的角為θ
則sinθ=
|
v
EC
|
|
v
|•|
EC
|
=
2
5
=
2
5
5

即直線EC與平面BCF所成的角為arcsin
2
5
5

(Ⅲ)在EF上存在滿足FM=2ME一點M,使M-ACF是正三棱錐
作法:題意知△ACF是正三角形,
頂點M在ACF上的射影是△ACF的中心N
正方形的中心(即AC與BD的交點)為O,
則點N一定在OF上,且FN=2ON,
在平面EOF中過N作NM∥OE交EF于點M,
則該點為所求
點評:本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面所成的角,其中建立空間坐標系,將直線與平面的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題,是解答本題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知ABCD是邊長為a的正方形,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,CG⊥面ABCD,CG=a.
(1)求證:BD∥EFG;
(2)求點B到面GEF的距離.

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如圖,已知ABCD是底角為30°的等腰梯形,AD=2
3
,BC=4
3
,取兩腰中點M、N分別交對角線BD、AC于G、H,則
AG
AC
=( 。

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如圖,已知ABCD是邊長為1的正方形,AF⊥平面ABCD,CE∥AF,CE=λAF(λ>1).
(Ⅰ)證明:BD⊥EF;
(Ⅱ)若AF=1,且直線BE與平面ACE所成角的正弦值為
3
2
10
,求λ的值.

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如圖,已知ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,PB=2,PB與平面ABCD所成的角為30°,PB與平面PCD所成的角為45°,求:
(1)PB與CD所成角的大;
(2)二面角C-PB-D的大。

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