Question

已知

a

=（2，sinθ），

b

=（1，cosθ），
（1）若θ為銳角且

a

•

b

=

13

6

，求sinθ+cosθ的值；
（2）若

a

∥

b

，求sin（2θ+

π

4

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式列式并化簡(jiǎn)，得sinθcosθ=

1

6

．再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可得（sinθ+cosθ）²的值，結(jié)合θ為銳角，開方即得sinθ+cosθ的值；
（2）根據(jù)兩個(gè)向量平行的充要條件列式，2cosθ=sinθ．再由由cos²θ+sin²θ=1，求得sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

再根據(jù)二倍角的正、余弦公式，算出sin2θ和cos2θ的值，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，可得sin（2θ+

π

4

）的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（2，sinθ），

b

=（1，cosθ），

a

•

b

=

13

6

，
∴2+sinθcosθ=

13

6

，∴sinθcosθ=

1

6

．
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=1+

1

3

=

4

3

．
又∵θ為銳角，
∴sinθ+cosθ=

2 3

3

．
（2）∵

a

∥

b

，
∴2cosθ=sinθ，
由∵cos²θ+sin²θ=1
解得sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×

2 5

5

×

5

5

=

4

5

，cos2θ=cos²θ-sin²θ=

1

5

-

4

5

=-

3

5

所以sin（2θ+

π

4

）=sin2θcos

π

4

+cos2θsin

π

4

=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量數(shù)量積運(yùn)算為載體，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正余弦公式和兩角和的正弦公式等知識(shí)，屬于中檔題．