Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N^*都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²+2S_n，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ） 求a₁，a₂；
（Ⅱ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2an，對(duì)任意的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1，由已知條件推導(dǎo)出a₁=2，令n=2，由已知條件推導(dǎo)出a2 =3．
（2）由a13+a23+a33+…+an3=Sn2+2Sn，得a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12+2Sn-1，兩式相減得到an2=Sn+Sn-1+2，由此推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）bn=3n+(-1)n-1λ•2an=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，由已知條件推導(dǎo)出（-1）^n-1λ＜

1

3

•(

3

2

)n，由此能證明-

3

4

＜λ＜

1

2

．

解答： 解：（1）令n=1，則a13=S12+2S1，
即a13=a12+2a1，
∴a1 =2或a₁=-1或a₁=0，
又∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，∴a₁=2，
令n=2，則a13+a23=S22+2S2，
即a13+a23=(a1+a2)2+2（a₁+a₂），
解得a₁=3或a₁=-2或a₁=0，
又∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，∴a2 =3．
（2）∵a13+a23+a33+…+an3=Sn2+2Sn，①
∴a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12+2Sn-1，（n≥2），②
由①-②得an3=(Sn2+2Sn)-(Sn-1 2+2Sn-1)，
化簡(jiǎn)得到an2=Sn+Sn-1+2，③
∴an-12=Sn-1+Sn-2+2，(n≥3)，④
由③-④得an2-an-12=(Sn+Sn-1+2)-(Sn-1+Sn-2+2)，
化簡(jiǎn)得到an2-an-12=an+an-1，即a_n-a_n-1=1（n≥3），
當(dāng)n=2時(shí)，a₂-a₁=1，∴a_n-a_n-1=1，（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）=n+1．
（3）bn=3n+(-1)n-1λ•2an=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，
∵對(duì)任意的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n恒成立，
即有3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²＞3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹．
化簡(jiǎn)得（-1）^n-1λ＜

1

3

•(

3

2

)n，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，λ＜

1

3

•(

3

2

)n恒成立，λ＜

1

3

•(

3

2

)=

1

2

，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，λ＞-

1

3

•(

3

2

)n恒成立，λ＞-

1

3

•(

3

2

)2=-

3

4

，
∴-

3

4

＜λ＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．