【題目】已知為拋物線上的一點,,為拋物線上異于點的兩點,且直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù).
(1)求直線的斜率;
(2)設直線過點并交拋物線于,兩點,且,直線與軸交于點,試探究與的夾角是否為定值,若是則求出定值,若不是,說明理由.
【答案】(1); (2)是定值,
【解析】
(1)根據點的坐標求出拋物線方程,設出點和點的坐標,利用斜率公式和拋物線方程,求出和,再根據和互為相反數(shù),得到,進而求出直線的斜率;
(2)設出點和點的坐標,根據,得到,再設出直線的方程,與拋物線聯(lián)立,利用韋達定理,并結合,化簡,得到的坐標表示,求出,借助向量的數(shù)量積,即可求得與的夾角.
(1)設,,
因為點為拋物線上的一點,
所以,解得,所以,
同時,有,,
,
同理,,
因為直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù),
所以,即,
故.
(2)設直線的方程為,,,,
將直線的方程代入,得,
所以,,
,,且,
,解得,
,
又
,
,
又,,
,即與的夾角為.
與的夾角是定值,定值為.
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),點A(1,0),B(3,),若以直角坐標系xOy的O點為極點,x軸正方向為極軸,且長度單位相同,建立極坐標系.
(1)求直線AB的極坐標方程;
(2)求直線AB與曲線C交點的極坐標.
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【題目】已知橢圓,點,,分別為橢圓的左焦點、右頂點和下頂點,的面積為,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若點為橢圓上一點,直線與橢圓交于不同的兩點,,且(點為坐標原點),求的值.
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【題目】BMI指數(shù)(身體質量指數(shù),英文為BodyMassIndex,簡稱BMI)是衡量人體胖瘦程度的一個標準,BMI=體重(kg)/身高(m)的平方.根據中國肥胖問題工作組標準,當BMI≥28時為肥胖.某地區(qū)隨機調查了1200名35歲以上成人的身體健康狀況,其中有200名高血壓患者,被調查者的頻率分布直方圖如下:
(1)求被調查者中肥胖人群的BMI平均值;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并判斷是否有99.9%的把握認為35歲以上成人患高血壓與肥胖有關.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
肥胖 | 不肥胖 | 合計 | |
高血壓 | |||
非高血壓 | |||
合計 |
附:,
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【題目】已知函數(shù),,,,給出以下四個命題:①為偶函數(shù);②為偶函數(shù);③的最小值為0;④有兩個零點.其中真命題的是( ).
A.②④B.①③C.①③④D.①④
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【題目】在黨中央的正確領導下,通過全國人民的齊心協(xié)力,特別是全體一線醫(yī)護人員的奮力救治,二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙兩個地區(qū)采取防護措施后,統(tǒng)計了從2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”確診人數(shù),繪制成如下折線圖:
(1)根據圖中甲、乙兩個地區(qū)折線圖的信息,寫出你認為最重要的兩個統(tǒng)計結論;
(2)治療“新冠肺炎”藥品的研發(fā)成了當務之急,某藥企計劃對甲地區(qū)的項目或乙地區(qū)的項目投入研發(fā)資金,經過評估,對于項目,每投資十萬元,一年后利潤是l.38萬元、1.18萬元、l.14萬元的概率分別為、、;對于項目,利潤與產品價格的調整有關,已知項目產品價格在一年內進行2次獨立的調整,每次價格調整中,產品價格下調的概率都是,記項目一年內產品價格的下調次數(shù)為,每投資十萬元,取0、1、2時,一年后相應利潤是1.4萬元、1.25萬元、0.6萬元.記對項目投資十萬元,一年后利潤的隨機變量為,記對項目投資十萬元,一年后利潤的隨機變量為.
(i)求,的概率分布列和數(shù)學期望,;
(ii)如果你是投資決策者,將做出怎樣的決策?請寫出決策理由.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,是橢圓上一動點(與左、右頂點不重合)已知的內切圓半徑的最大值為,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過的直線交橢圓于兩點,過作軸的垂線交橢圓與另一點(不與重合).設的外心為,求證為定值.
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