【題目】已知函數(shù),其中
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式
在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)已知正數(shù)滿足:存在
,使得
成立.試比較
與
的大小,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】分析:(1)設(shè),不等式
可化為
,對(duì)
可把
作為一個(gè)整體,分子分母同除以
,轉(zhuǎn)化后可利用基本不等式求得其最值,從而得
的范圍;
(2)令函數(shù),則
,由導(dǎo)數(shù)可求得
的最小值,而題中命題成立,即這個(gè)最小值
,從而可得
的取值范圍,而比較
與
,即比較
與
的大小,即比較
與
的大小.于是可構(gòu)造函數(shù)
(
),利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性,從而得結(jié)論.
詳解:(1)由條件知在
上恒成立,
令(
),則
,所以
對(duì)于任意
成立.
因?yàn)?/span>,∴
,
當(dāng)且僅當(dāng),即
時(shí)等號(hào)成立.
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
(2)令函數(shù),則
,
當(dāng)時(shí),
,
,又
,故
,
所以是
上的單調(diào)遞增函數(shù),
因此在
上的最小值是
.
由于存在,使
成立,當(dāng)且僅當(dāng)最小值
,
故,即
.
與
均為正數(shù),同取自然底數(shù)的對(duì)數(shù),
即比較與
的大小,試比較
與
的大小.
構(gòu)造函數(shù)(
),則
,
再設(shè),
,從而
在
上單調(diào)遞減,
此時(shí),故
在
上恒成立,則
在
上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且x≤0時(shí), f(x)=-x+1
(1)求f(0),f(2);
(2)求函數(shù)f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在
上是奇函數(shù).
(1)求;
(2)對(duì),不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)令,若關(guān)于
的方程
有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】研究變量,
得到一組樣本數(shù)據(jù),進(jìn)行回歸分析,有以下結(jié)論
①殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好;
②用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果,
越小說明擬合效果越好;
③在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量
每增加1個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量
平均增加0.2個(gè)單位
④若變量和
之間的相關(guān)系數(shù)為
,則變量
和
之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng),以上正確說法的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(1)若的解集為
,且方程
有兩個(gè)相等的根,求
解析式;
(2)若,
且對(duì)任意實(shí)數(shù)
均有
成立,當(dāng)
時(shí),
是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
為函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)的圖象與
軸交點(diǎn)為
,曲線
在
點(diǎn)處的切線方程是
,求
,
的值;
(2)若函數(shù),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若時(shí),討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】生物學(xué)家預(yù)言,21世紀(jì)將是細(xì)菌發(fā)電造福人類的時(shí)代。說起細(xì)菌發(fā)電,可以追溯到1910年,英國(guó)植物學(xué)家利用鉑作為電極放進(jìn)大腸桿菌的培養(yǎng)液里,成功地制造出世界上第一個(gè)細(xì)菌電池。然而各種細(xì)菌都需在最適生長(zhǎng)溫度的范圍內(nèi)生長(zhǎng)。當(dāng)外界溫度明顯高于最適生長(zhǎng)溫度,細(xì)菌被殺死;如果在低于細(xì)菌的最低生長(zhǎng)溫度時(shí),細(xì)菌代謝活動(dòng)受抑制。為了研究某種細(xì)菌繁殖的個(gè)數(shù)是否與在一定范圍內(nèi)的溫度
有關(guān),現(xiàn)收集了該種細(xì)菌的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表:
經(jīng)計(jì)算得:,
,線性回歸模型的殘差平方和
.其中
分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度與繁殖數(shù),
.
參考數(shù)據(jù):,
,
(Ⅰ)求關(guān)于
的線性回歸方程
(精確到0.1);
(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得關(guān)于
回歸方程為
,且非線性回歸模型的殘差平方和
.
(。┯孟嚓P(guān)指數(shù)說明哪種模型的擬合效果更好;
(ⅱ)用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為34℃時(shí)該種細(xì)菌的繁殖數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).
附:一組數(shù)據(jù),其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)為
,
;
相關(guān)指數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠每日生產(chǎn)一種產(chǎn)品噸,每日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日銷售完畢,日銷售額為
萬(wàn)元,產(chǎn)品價(jià)格隨著產(chǎn)量變化而有所變化,經(jīng)過一段時(shí)間的產(chǎn)銷,得到了
,
的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
(1)請(qǐng)判斷與
中,哪個(gè)模型更適合刻畫
,
之間的關(guān)系?可從函數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)方面給出簡(jiǎn)單的理由;
(2)根據(jù)你的判斷及下面的數(shù)據(jù)和公式,求出關(guān)于
的回歸方程,并估計(jì)當(dāng)日產(chǎn)量
時(shí),日銷售額是多少?
,
,
,
.
線性回歸方程中,
,
.
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