Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N*，點(n，)都在函數(shù)f(x)＝x＋的圖象上．

(1)求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表達式，并證明你的猜想．

(2)設(shè)A_n為數(shù)列{}的前n項積，是否存在實數(shù)a，使得不等式A_n對一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵點(n，)都在函數(shù)f(x)＝x＋的圖象上，故＝n＋． 　　∴Sn＝n2＋an，令n＝1得a1＝1＋a1，∴a1＝2 　　令n＝2得a1＋a2＝4＋a2，∴a2＝4 　　令n＝3得a1＋a2＋a3＝9＋a3，∴a3＝6 　　由此猜想：an＝2n(n∈N*)，2分 　　下面用數(shù)字歸納法證明： 　�、佼攏＝1時，由上面的求解知，猜想成立．3分 　�、诩僭O(shè)n＝k時猜想成立，即ak＝2k成立， 　　那么，當n＝k＋1時，由條件知，Sk＝k2＋ak，Sk+1＝(k＋1)2＋ak+1， 　　兩式相減，得ak+1＝2k＋1＋ak+1－ak， 　　∴ak+1＝4k＋2－ak＝4k＋2―2k＝2(k＋1) 　　即當n＝k＋1時，猜想成立． 　　根據(jù)①、②知，對一切n∈N*，an＝2n成立．6分 　　(2)∵＝1－，故An＝(1―)(1―)…(1―)， 　　∴An＝(1―)(1―)…(1―) 　　又f(a)－＝a＋－＝a－ 　　故An＜f(a)－對一切n∈N*都成立，就是 　　(1―)(1―)…(1―)·＜a－對一切n∈N*都成立．8分 　　設(shè)g(n)＝(1―)(1―)…(1―)，則只需g(n)max＜a－即可．　9分 　　由于＝(1－)·＝· 　�。�＜1 　　∴g(n＋1)＜g(n)，故g(n)是單調(diào)遞減， 　　于是g(n)max＝g(1)＝，　12分 　　由＜a－得＞0解得－＜a＜0或a＞． 　　綜上所述，使得所給不等式對一切n∈N*都成立的實數(shù)a存在，且a的取值范圍為(－，0)∪(，＋∞)．14分