Question

定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足且對(duì)任意都有．

(1)求證為奇函數(shù)；

(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 (1)證明：利用“賦值法”，確定f(0)=0，再

計(jì)算f(x)+f(-x)=0．

 (2) t=3＞0，換元后，問(wèn)題等價(jià)于t-(1+k)t+2＞0

假設(shè)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立．

【解析】

試題分析：

思路分析：(1)證明：利用“賦值法”，確定f(0)=0，再

計(jì)算f(x)+f(-x)=0．

 (2) t=3＞0，換元后，問(wèn)題等價(jià)于t-(1+k)t+2＞0

假設(shè)，應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)一步求解。

 (1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)    (x，y∈R)， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，

則有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立，

所以f(x)是奇函數(shù)．

 (2)解：＞0，即f(3)＞f(0)，又在R上是單調(diào)函數(shù)，

所以在R上是增函數(shù)

又由(1)f(x)是奇函數(shù)．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，

∴ k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0對(duì)任意x∈R成立．

令t=3＞0，問(wèn)題等價(jià)于t-(1+k)t+2＞0

對(duì)任意t＞0恒成立．

令，其對(duì)稱軸

當(dāng)即時(shí)，符合題意；

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立

解得

綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立．

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題涉及抽象函數(shù)問(wèn)題，一般要考慮應(yīng)用“賦值法”，確定所需數(shù)據(jù)。本題通過(guò)換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，具有“化生為熟”的示范作用。