Question

求證：若x＞0，則ln（1+x）＞

x

1+x

．

Answer 1

分析：令f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，易證f′（x）=

x

(1+x)2

＞0，y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而f（x）＞f（0）=0，使結(jié)論得證．

解答：證明：令f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，
∵x＞0，
∴f′（x）=

1

1+x

-

(1+x)-x

(1+x)2

=

(1+x)-1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

＞0，
∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴x＞0時，f（x）＞f（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+x）＞

x

1+x

．

點評：本題考查不等式的證明，考查構(gòu)造函數(shù)思想與導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．