Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=

1-ax

x

，x∈（0，+∞）．設(shè)0＜x₁＜

2

a

，記曲線y=f（x）在點M（x₁，f（x₁））處的切線為l
（1）求l的方程；
（2）設(shè)l與x軸交點為（x₂，0），求證：①0＜x₂≤

1

a

； ②若0＜x₁＜

1

a

，則x₁＜x₂＜2x₁．

Answer 1

分析：（1）通過求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求直線方程是解決本題的關(guān)鍵，注意點斜式方程的運用；
（2）首先求出l與x軸交點，然后運用作差比較法證明①，注意二次問題配方法的應(yīng)用，將②進(jìn)行等價變形是解決本題的關(guān)鍵，注意對兩根進(jìn)行綜合變形和轉(zhuǎn)化、作差法比較大小的運用．

解答：解：（1）依題知，得：f′（x）=-

1

x2

，根據(jù)點斜式可得l的方程為y-

1-ax1

x1

=-

1

x 2 1

(x-x1)，
整理得直線l的方程是 

1

x 2 1

x+y-

2-ax1

x1

=0．
（2）證明：由（1）得 x₂=x₁（2-ax₁）
①由于 0＜x₁＜

2

a

，所以ax₁＜2，x₂=x₁（2-ax₁）＞0
又x₂-

1

a

=x₁（2-ax₁）-

1

a

=

a2 x 2 1 -2ax1+1

a

=

(ax1-1)2

a

≤0，所以，0＜x₂≤

1

a

；
②因為 x₂-x₁=x₁（2-ax₁）-x₁=x₁-ax₁²=x₁（1-ax₁），且0＜x₁＜

1

a

，，所以1-ax₁＞0，即x₁＜x₂．
又x₂-2x₁=x₁（2-ax₁）-2x₁=-ax₁²＜0，所以 x₂＜2x₁，
故當(dāng)0＜x₁＜

1

a

，則x₁＜x₂＜2x₁．

點評：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)求切線方程斜率的思想和意識，考查學(xué)生運用點斜式寫直線方程的基本功；考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的思想，考查學(xué)生運用作差法比較大小的基本思想，注意不等式的工具作用．