Question

設(shè)直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；②對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x-2sinx．求證：y=x+2為曲線f（x）的“上夾線”．
（Ⅱ）觀察下圖：

根據(jù)上圖，試推測(cè)曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f'（x）=1-2cosx=1得cosx=0，從而找出直線l與曲線S的兩個(gè)切點(diǎn)，從而說(shuō)明直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)，然后根據(jù)對(duì)任意x∈R，g（x）-F（x）≥0，滿足“上夾線”的定義，從而得到結(jié)論；
（Ⅱ）推測(cè)：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程為y=mx+n，然后①先檢驗(yàn)直線y=mx+n與曲線y=mx-nsinx相切，且至少有兩個(gè)切點(diǎn)，②檢驗(yàn)g（x）≥F（x）是否成立，從而得到結(jié)論．

解答：解（Ⅰ）由f'（x）=1-2cosx=1得cosx=0，（1分）
當(dāng)x=-

π

2

時(shí)，cosx=0，
此時(shí)y1=x+2=-

π

2

+2，y2=x-2sinx=-

π

2

+2，（2分）
y₁=y₂，所以（-

π

2

，-

π

2

+2）是直線l與曲線S的一個(gè)切點(diǎn)；（3分）
當(dāng)x=

3π

2

時(shí)，cosx=0，
此時(shí)y1=x+2=

3π

2

+2，y2=x-2sinx=

3π

2

+2，（4分）
y₁=y₂，所以（

3π

2

，

3π

2

+2）是直線l與曲線S的一個(gè)切點(diǎn)；（5分）
所以直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；
對(duì)任意x∈R，g（x）-F（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0，
所以g（x）≥F（x）（6分）
因此直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．（7分）
（Ⅱ）推測(cè)：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程為y=mx+n（9分）
①先檢驗(yàn)直線y=mx+n與曲線y=mx-nsinx相切，且至少有兩個(gè)切點(diǎn)：設(shè)：F（x）=mx-nsinx
∵F'（x）=m-ncosx，令F'（x）=m-ncosx=m，得：x=2kπ±

π

2

（k∈Z）（10分）
當(dāng)x=2kπ-

π

2

時(shí)，F(xiàn)（2kπ-

π

2

）=m（2kπ-

π

2

）+n
故：過(guò)曲線F（x）=mx-nsinx上的點(diǎn)2kπ-

π

2

，m（2kπ-

π

2

）+n）的切線方程為：
y-[m（2kπ-

π

2

）+n]=m[x-（2kπ-

π

2

）]，化簡(jiǎn)得：y=mx+n．
即直線y=mx+n與曲線y=F（x）=mx-nsinx相切且有無(wú)數(shù)個(gè)切點(diǎn)．（12分）
不妨設(shè)g（x）=mx+n
②下面檢驗(yàn)g（x）≥F（x）
∵g（x）-F（x）=n（1+sinx）≥0（n＞0）
∴直線y=mx+n是曲線y=F（x）=mx-nsinx的“上夾線”．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究切線等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．