【題目】如圖1,在矩形中,,,點在線段上,且,現(xiàn)將沿折到的位置,連結(jié),,如圖2.

1)若點在線段上,且,證明:;

2)記平面與平面的交線為.若二面角,求與平面所成角的正弦值.

【答案】1)詳見解析,(2

【解析】

1)先在圖1中連結(jié)DP,根據(jù)tanPDCtanDAE得到∠DOE90°,從而有AEOD,AEOP,即在圖2中有AEOD',AEOP,即可證明AE⊥平面POD',從而得到AEPD';

2)延長AEBC交于點Q,連接D'Q,根據(jù)公理3得到直線D'Q即為l,在平面POD'內(nèi)過點O作底面垂線,以O為原點,分別為OAOP,及所作垂線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解l與平面D'CE所成角的正弦值.

證明:(1)先在圖1中連結(jié)DP,在RtADE中,由AD,DE

tanDAE,在RtPCD中,由DCABPCBC-BP,

tanPDC,∴tanPDCtanDAE,則∠PDC=∠DAE,

∴∠DOE90°,從而有AEOD,AEOP,

即在圖2中有AEOD'AEOP,

AE⊥平面POD',則AEPD';

解:(2)延長AE,BC交于點Q,連接D'Q,根據(jù)公理3得到直線D'Q即為l

再根據(jù)二面角定義得到

在平面POD'內(nèi)過點O作底面垂線,

O為原點,分別為OAOP,及所作垂線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

D′(0,﹣1,),E(﹣1,0,0),Q(﹣11,00),C(﹣34,0),

(﹣11,1,),(﹣2,40),1,﹣1),

設(shè)平面DEC的一個法向量為,

,取y1,得

l與平面D'CE所成角的正弦值為|cos|

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