Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求證：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB=

2

，PC=2，問AB為何值時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）要證AD⊥PD，可以證明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及線面垂直的性質(zhì)，即可證明AB⊥PD．
（2）過P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，連接PM，由邊長關(guān)系得到BC=

6

，PM=

2

3

，設(shè)AB=x，則V_P-ABCD=

1

3

8x2-6x4

，故當(dāng)x2=

2

3

時(shí)，V_P-ABCD取最大值，建立空間直角坐標(biāo)系O-AMP，利用向量方法即可得到夾角的余弦值．

解答： 解：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，∴AB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．
（2）過P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，
作OM⊥BC，連接PM
∴PM⊥BC，
∵∠BPC=90°，PB=

2

，PC=2，
∴BC=

6

，PM=

2

3

=

2 3

3

，BM=

6

3

，
設(shè)AB=x，∴OM=x∴PO=

4 3 -x2

，
∴V_P-ABCD=

1

3

×x×

6

×

4 3 -x2

=

1

3

8x2-6x4

當(dāng)x2=

2

3

，即x=

6

3

，V_P-ABCD=

2 6

9

，
建立空間直角坐標(biāo)系O-AMP，如圖所示，
則P（0，0，

6

3

），D（-

2 6

3

，0，0），C（-

2 6

3

，

6

3

，0），M（0，

6

3

，0），B（

6

3

，

6

3

，0）
面PBC的法向量為

n

=（0，1，1），面DPC的法向量為

m

=（1，0，-2）
∴cosθ=|

n • m

| n | | m |

|=|

-2

2 • 5

|=

10

5

．

點(diǎn)評：本題考查線面位置關(guān)系、線線位置關(guān)系、線面角的度量，考查分析解決問題、空間想象、轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力與方程思想．