Question

已知函數(shù)f（x）=x+sinx．項(xiàng)數(shù)為19的等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n∈(-

π

2

，

π

2

)，且公差d≠0．若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₈）+f（a₁₉）=0，則當(dāng)k=

 

時(shí)，f（a_k）=0．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由函數(shù)f（x）=x+sinx，可得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，圖象過(guò)原點(diǎn)，根據(jù)項(xiàng)數(shù)為19的等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n∈(-

π

2

，

π

2

)，且公差d≠0，我們易得a₁，a₂，…，a₁₉前后相應(yīng)項(xiàng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則f（a₁₀）=0，易得k值．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x+sinx是奇函數(shù)，
所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，圖象過(guò)原點(diǎn)．
而等差數(shù)列{a_n}有19項(xiàng)，a_n∈(-

π

2

，

π

2

)，
若f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₁₉）=0，
則必有f（a₁₀）=0，
所以k=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱(chēng)性，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．