Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

100

+

y2

64

=1的兩個焦點，P是橢圓上任意一點．
（1）求PF₁•PF₂的最大值．
（2）若∠F₁PF₂=

π

3

，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合基本不等式，求出PF₁•PF₂的最大值；
（2）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理和正弦定理求出△F₁PF₂的面積．

解答： 解：（1）在橢圓

x2

100

+

y2

64

=1中，a=10，
根據(jù)橢圓的定義得PF₁+PF₂=20，
∵PF₁+PF₂≥2

PF1•PF2

，
∴PF₁•PF₂≤（

PF1+PF2

2

）²=（

20

2

）²=100，
當(dāng)且僅當(dāng)PF₁=PF₂=10時，等號成立；
∴PF₁•PF₂的最大值為100； …（4分）
（2）設(shè)PF₁=m，PF₂=n（m＞0，n＞0），
根據(jù)橢圓的定義得m+n=20；
在△F₁PF₂中，由余弦定理得PF

2 1

+PF

2 2

-2PF₁•PF₂•cos∠F₁PF₂=F₁F

2 2

，
即m²+n²-2mn•cos

π

3

=12²；
∴m²+n²-mn=144，即（m+n）²-3mn=144；
∴20²-3mn=144，即mn=

256

3

；
又∵S△F₁PF₂=

1

2

PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=

1

2

mn•sin

π

3

，
∴S△F₁PF₂=

1

2

×

256

3

×

3

2

=

64 3

3

．…（10分）

點評：本題考查了橢圓的定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．