Question

求函數(shù)y=x^x的定義域和值域．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)y=x^x的定義域?yàn)閧x|x＞0}．y=f（x）=e^xlnx，利用導(dǎo)數(shù)即可得出．

解答： 解：函數(shù)y=x^x的定義域?yàn)閧x|x＞0}．
y=f（x）=e^xlnx，
f′（x）=（1+lnx）e^xlnx，
令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
當(dāng)0＜x＜

1

e

時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞

1

e

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

1

e

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值e-

1

e

．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇e-

1

e

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了轉(zhuǎn)化方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．