設(shè)雙曲線E：
-
=1（b≥
a＞0）的左、右焦點分別為F
1、F
2，其上的任意一點P，滿足
•
≤2a
2，過F
1作垂直于雙曲線實軸的弦長為8．求雙曲線E的方程．
考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：令x=-c，代入雙曲線方程得
-=1，從而推導(dǎo)出b
2=4a；設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），F(xiàn)
1（-c，0），F(xiàn)
2（c，0），
=（-c-x，-y），
=（x-c，y），從而由
•
推導(dǎo)出a
2=2b
2，由此能求出雙曲線方程．
解答：
解：令x=-c，代入雙曲線方程得
-=1，
故y
2=b
2（
-1）=
（c
2-a
2）=
，
|y|=
=
，即有b
2=4a，①
設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），F(xiàn)
1（-c，0），F(xiàn)
2（c，0），
=（-c-x，-y），
=（x-c，y），
•
=-（c+x）（x-c）-y
2=-（x
2-c
2）-y
2=c
2-x
2-y
2=c
2-x
2-[b
2（
-1）]
=-（1+
）x
2+c
2+b
2≤c
2+b
2=a
2+2b
2=2a
2，
故得a
2=2b
2，②
將①代入②式，得a
2=8a，
即有a
2-8a=a（a-8）=0，
解得a=8，b
2=32，
∴雙曲線方程為
-=1．
點評：本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量知識和雙曲線性質(zhì)的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
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