Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2^x，對(duì)任意的 x₁、x₂（x₁≠x₂），考慮如下結(jié)論：
①f （x₁•x₂）=f （x₁）+f （x₂）；    
②f （x₁+x₂）=f （x₁）•f （x₂）；    
③f （-x₁）=

1

f(x1)

；
④

f(x1)-1

x1

＜0 （x₁≠0）；     
⑤

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．
則上述結(jié)論中正確的是

 

（只填入正確結(jié)論對(duì)應(yīng)的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由于f （x₁•x₂）=2x1×2x2=2x1+x2，f （x₁）+f （x₂）=2x1+2x2，即可判斷出；
②f （x₁+x₂）=2x1+x2=f （x₁）•f （x₂）；
③f （-x₁）=2-x1=

1

2x1

=

1

f(x1)

；
④g（x₁）=

f(x1)-1

x1

=

2x1-1

x1

，對(duì)x₁分類討論：當(dāng)x₁＞0時(shí)，g（x₁）＞0；當(dāng)x₁＜0時(shí)，g（x₁）＜0．
⑤利用基本不等式的性質(zhì)

f(x1)+f(x2)

2

=

2x1+2x2

2

＞

2 2x1•2x2

2

=

2x1+x2

=2

x1+x2

2

=f(

x1+x2

2

)．

解答： 解：①f （x₁•x₂）=2x1×2x2=2x1+x2，f （x₁）+f （x₂）=2x1+2x2，∴f （x₁•x₂）≠f （x₁）+f （x₂），因此不正確；
②f （x₁+x₂）=2x1+x2=f （x₁）•f （x₂），正確；
③f （-x₁）=2-x1=

1

2x1

=

1

f(x1)

，正確；
④g（x₁）=

f(x1)-1

x1

=

2x1-1

x1

，當(dāng)x₁＞0時(shí)，g（x₁）＞0；當(dāng)x₁＜0時(shí)，g（x₁）＜0；因此不正確．
⑤

f(x1)+f(x2)

2

=

2x1+2x2

2

＞

2 2x1•2x2

2

=

2x1+x2

=2

x1+x2

2

=f(

x1+x2

2

)，因此正確．
綜上可得：只有②③⑤正確．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、分類討論方法、基本不等式的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．