【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點.
(1)證明:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在AE上求一點M,使得A1M⊥平面DAE.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】
(1) 證明建立空間直角坐標系D-xyz,不妨設(shè)正方體的棱長為2,
則A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).求出平面AED的法向量為n1
平面A1FD1的法向量n2,由n1·n2=0即可得證.
(2)因為點M在直線AE上,所以可設(shè)=λ·=λ·(0,2,1)=(0,2λ,λ),可得M(2,2λ,λ),于是=(0,2λ,λ-2),要使A1M⊥平面DAE,需有A1M⊥AE,即可求出λ
從而確定點M.
(1) 證明建立空間直角坐標系D-xyz,不妨設(shè)正方體的棱長為2,
則A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).
設(shè)平面AED的法向量為n1=(x1,y1,z1),則
∴2x1=0,2x1+2y1+z1=0.
令y1=1,得n1=(0,1,-2).
同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).
因為n1·n2=0,所以平面AED⊥平面A1FD1.
(2)因為點M在直線AE上,所以可設(shè)=λ·=λ·(0,2,1)=(0,2λ,λ),可得M(2,2λ,λ),
于是=(0,2λ,λ-2),要使A1M⊥平面DAE,需有A1M⊥AE,
所以=(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)=5λ-2=0,得λ=.故當AM=AE時,A1M⊥平面DAE.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某人事部門對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計,繪制的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定80分以上者晉級成功,否則晉級失敗(滿分為100分).
(1)求圖中的值;
(2)估計該次考試的平均分 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值代表);
(3)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān).
晉級成功 | 晉級失敗 | 合計 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合計 |
參考公式:,其中
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)a∈Z,已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點x0 , g(x)為f(x)的導函數(shù).
(Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)m∈[1,x0)∪(x0 , 2],函數(shù)h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求證:h(m)h(x0)<0;
(Ⅲ)求證:存在大于0的常數(shù)A,使得對于任意的正整數(shù)p,q,且 ∈[1,x0)∪(x0 , 2],滿足| ﹣x0|≥ .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5 .
(Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M﹣m( )
A.與a有關(guān),且與b有關(guān)
B.與a有關(guān),但與b無關(guān)
C.與a無關(guān),且與b無關(guān)
D.與a無關(guān),但與b有關(guān)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,B為△ACD所在平面外一點,M,N,G分別為△ABC,△ABD,△BCD的重心.
(1)求證:平面MNG∥平面ACD;
(2)求
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD中,下面結(jié)論錯誤的是( )
A. BD∥平面C B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面C D. 向量與的夾角為60°
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a,b為異面直線,且所成的角為70°,過空間一點作直線l,直線l與a,b均異面,且所成的角均為50°,則滿足條件的直線共有( ) 條
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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