Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

π

2

，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)位M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求|f（x）+1|+

π

2

的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：通過函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

π

2

，求出函數(shù)的周期，確定ω的值，利用圖象上一個(gè)最低點(diǎn)位M(

2π

3

，-2)．求出A，結(jié)合0＜φ＜

π

2

，求出φ的值，即可得到函數(shù)的解析式．

解答：解：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

π

2

，所以函數(shù)的周期為：π，所以ω=

2π

T

=2；
圖象上一個(gè)最低點(diǎn)位M(

2π

3

，-2)，所以A=2，并且-2=2sin（2×

2π

3

+φ），因?yàn)?＜φ＜

π

2

，所以φ=

π

6

，
（1）函數(shù)的解析式為：f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）函數(shù)|f（x）+1|+

π

2

的單調(diào)區(qū)間就是|f（x）+1|的單調(diào)區(qū)間，|f（x）+1|=|2sin（2x+

π

6

）+1|，令g（x）=|2sin（2x+

π

6

）+1|，作出g（x）的圖象
所以|f（x）+1|+

π

2

的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

6

]，[kπ+

π

2

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
單調(diào)減區(qū)間為：[kπ+

π

6

，kπ+

π

2

]，[kπ+

2π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)單調(diào)性的求法，利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)的單調(diào)性，方便簡潔，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．