Question

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且f（C）=1，若c=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用三角函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）利用f（C）=1求得C，進(jìn)而利用余弦定理建立關(guān)于a和b的等式，利用基本不等式求得ab的最大值，進(jìn)而利用三角函數(shù)面積公式求得面積的最大值．

解答： 解：f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，函數(shù)單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）∵0＜C＜π，
∴

π

6

＜2C+

π

6

＜

13π

6

，
∵f（C）=2sin（2C+

π

6

）=1，
∴sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
∴2C+

π

6

=

5π

6

，C=

π

3

∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

∴ab=a²+b²-c²≥2ab-c²，
又∵c=4
∴ab≤16，
∴S_△ABC=

1

2

absin

π

3

=

3

4

ab≤4

3

，
故△ABC面積的最大值是4

3

．

點評：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．注重了對學(xué)生基礎(chǔ)知識的考查．