Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）若，函數(shù)的極大值為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對任意的， ，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定函數(shù)極大值，最后根據(jù)絕對值求實(shí)數(shù)的值；（2）先求， 最大值，再變量分離得 ，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由題意，

.

①當(dāng)時(shí)，，

令，得；，得，

所以在單調(diào)遞增單調(diào)遞減.

所以的極大值為，不合題意.

②當(dāng)時(shí)，，

令，得；，得或，

所以在單調(diào)遞增， ， 單調(diào)遞減.

所以的極大值為，得.

綜上所述.

（2）令，

當(dāng)時(shí)，，

故上遞增，

原問題上恒成立

①當(dāng)時(shí)，，，，

此時(shí)，不合題意.

②當(dāng)時(shí)，令，，

則，其中，，

令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增

（ⅰ）時(shí)，，

所以對，，從而在上單調(diào)遞增，

所以對任意，，

即不等式在上恒成立.

（ⅱ）時(shí)，由，及在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以存在唯一的使得，且時(shí)，.

從而時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則時(shí)，，即，不符合題意.

綜上所述，.