Question

【題目】對(duì)于無窮數(shù)列，若對(duì)任意，滿足且（是與無關(guān)的常數(shù)），則稱數(shù)列為數(shù)列.

（1）若（），判斷數(shù)列是否為數(shù)列，說明理由；

（2）設(shè)，求證：數(shù)列是數(shù)列，并求常數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)數(shù)列（，），問數(shù)列是否為數(shù)列？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是數(shù)列，見解析；（2）；證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）由，得到，整理后可得當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，進(jìn)而可得得到數(shù)列不是數(shù)列；

（2）由，得到時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減，得到數(shù)列的最大項(xiàng)，由此求得常數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)于有，可得當(dāng)時(shí)數(shù)列是數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是數(shù)列.

（1）由，

可得，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列不是數(shù)列.

（2）證明：因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減，

則數(shù)列的最大項(xiàng)為，所以的取值范圍內(nèi)是.

（3）①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

由，解得，

即當(dāng)時(shí)，符合，

若，則，此時(shí)，

于是，

由對(duì)于，有，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是數(shù)列；

②當(dāng)時(shí)，取，則，

由，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是數(shù)列；

③當(dāng)時(shí)，取，則，

由，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是數(shù)列.

綜上可得：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是數(shù)列.