Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx-x+a．
（Ⅰ）設(shè)g（x）=f'（x），求g（x）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，試研究函數(shù)f（x）=（x+a）lnx-x+a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）首先，g（x）的定義域是（0，+∞），再根據(jù)求導(dǎo)法則得g（x）=f'（x）=+lnx，分別討論當(dāng)a≤0時(shí)和當(dāng)a＞0時(shí)g（x）零點(diǎn)的兩種不同情況，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間的兩種情形；
（II）由題（Ⅰ）知，g（x）在x=a時(shí)取到最小值，求出g（a）的值，由a≥可以證得g（a）≥0，從而f'（x）≥0．得到f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，再由根的存在性定理可以證得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上存在零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．
解答：解：（Ⅰ）g（x）的定義域是（0，+∞）∵g（x）=f'（x）=+lnx，
∴g'（x）=-，…（2分）
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故g（x）單調(diào)區(qū)間是（0，+∞）…（4分）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，g'（x）＞0，∴g（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
再由g'（x）＜0得g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減．
g（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，a）與（a，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由題（Ⅰ）知，g（x）在x=a時(shí)取到最小值，且為g（a）=+lna=1+lna．…（9分）
∵a≥，∴l(xiāng)na≥-1，∴g（a）≥0．
∴f'（x）≥g（a）≥0．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，…（11分）
∵f（e）=（e+a）lne-e+a=2a＞0，＜0，，
∴內(nèi)有零點(diǎn)．…（13分）
故函數(shù)f（x）=（x+a）lnx-x+a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．同時(shí)還考查了導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化、化歸思想的應(yīng)用．