【題目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,AA1⊥AC,M、N分別為棱AA1、CC1的中點.
(1)求證:直線MN⊥平面B1BD;
(2)已知AA1=AB,AA1⊥AB,取線段C1D1的中點Q,求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值.
【答案】
(1)
證明:∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,AA1⊥AC,
∵M、N分別為棱AA1、CC1的中點,
∴MN∥AC,
∵在正方形ABCD中,AC⊥BD,
∴MN⊥BD,
∵BB1⊥AC,
∴MN⊥BB1,
∵BB1∩BD=B,
∴MN⊥平面BB1D
(2)
證明:∵AA1⊥AB,
∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1為正方體,
以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,如圖建立直角坐標系,
設棱長為2,
則M(2,0,1),D(0,0,0),N(0,2,1),Q(0,1,2),
易求得面MDN的一個法向量為 ,
則面QMD的一個法向量為 ,
則 ,
所以二面角Q﹣MD﹣N的余弦值為
【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明.(2)建立空間坐標系,求出平面的法向量,利用向量法進行求解即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識,掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設分別為橢圓的左、右焦點,點為橢圓的左頂點,點為橢圓的上頂點,且.
(1)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;
(2)設為橢圓上一點,且在第一象限內(nèi),直線與軸相交于點,若以為直徑的圓經(jīng)過點,證明:點在直線上.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率e= ,左頂點為A(﹣4,0),過點A作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點D,交y軸于點E.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知P為AD的中點,是否存在定點Q,對于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ,若存在,求出點Q的坐標;若不存在說明理由;
(3)若過O點作直線l的平行線交橢圓C于點M,求 的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學家之一,他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日轉(zhuǎn)多七人,每人日支米三升”。其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩,第一天派出64人,從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人,修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升”,在該問題中第3天共分發(fā)大米( )
A. 192升 B. 213升 C. 234升 D. 255升
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則:
①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”;
②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;
③“t≠0,mt=ntm=n”類比得到“c≠0,a·c=b·ca=b”;
④“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”;
⑤“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a(b·c)”;
⑥“”類比得到.以上的式子中,類比得到的結(jié)論正確的是________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知AB為半圓O的直徑,AB=4,C為半圓上一點,過點C作半圓的切線CD,過點A作AD⊥CD于D,交半圓于點E,DE=1.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)求BC的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,圓O為△ABC的外接圓,過點C作圓O的切線交AB的延長線于點D,∠ADC的平分線交AC于點E,∠ACB的平分線交AD于點H.
(1)求證:CH⊥DE;
(2)若AE=2CE.證明:DC=2DB.
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