【題目】設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列.記cn=bn﹣an
(1)求證:數(shù)列{cn+1﹣cn+d}為等比數(shù)列;
(2)已知數(shù)列{cn}的前4項分別為9,17,30,53.
①求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
②是否存在元素均為正整數(shù)的集合A={n1 , n2 , …,nk},(k≥4,k∈N*),使得數(shù)列cn1 , cn2 , …,cnk等差數(shù)列?證明你的結(jié)論.

【答案】
(1)證明:依題意,cn+1﹣cn+d=(bn+1﹣an+1)﹣(bn﹣an)+d

=(bn+1﹣bn)﹣(an+1﹣an)+d=bn(q﹣1)≠0,

從而 ,又c2﹣c1+d=b1(q﹣1)≠0,

∴{cn+1﹣cn+d}是首項為b1(q﹣1),公比為q的等比數(shù)列


(2)解:①由(1)得,等比數(shù)列{cn+1﹣cn+d}的前3項為8+d,13+d,23+d,

則(13+d)2=(8+d)(23+d),

解得d=﹣3,從而q=2,且

解得a1=﹣4,b1=5,

②假設(shè)存在滿足題意的集合A,不妨設(shè)l,m,p,r∈A(l<m<p<r),

且cl,cm,cp,cr成等差數(shù)列,則2cm=cp+cl,

∵cl>0,∴2cm=cp+cl

若p>m+1,則p≥m+2,結(jié)合①得, ,

則2[52m1+(3m+1)]>52p1+(3p+1)>52m+1+3(m+2)+1,

化簡得, ,②

∵m≥2,m∈N*,不難知 ,這與②矛盾,

∴只能p=m+1,同理r=p+l=m+2,

∴cm,cp,cr為數(shù)列{cn}的連續(xù)三項,從而2cm+1=cm+cm+2,

即2(bm+1﹣am+1)=(bm﹣am)+(bm+2﹣am+2),又2am+1=am+am+2

故2bm+1=bm+bm+2,又 ,故q=1,這與q≠1矛盾,

∴假設(shè)不成立,從而不存在滿足題意的集合A


【解析】(1)依題意,cn+1﹣cn+d=(bn+1﹣an+1)﹣(bn﹣an)+d=(bn+1﹣bn)﹣(an+1﹣an)+d=bn(q﹣1)≠0,利用等比數(shù)列的定義,即可證得結(jié)論;(2)①由(1)得,等比數(shù)列{cn+1﹣cn+d}的前3項為8+d,13+d,23+d,求出d,q,即可求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;②利用反證法,假設(shè)存在滿足題意的集合A,不妨設(shè)l,m,p,r∈A(l<m<p<r),且cl , cm , cp , cr成等差數(shù)列,則2cm=cp+cl , 得出cm , cp , cr為數(shù)列{cn}的連續(xù)三項,從而2cm+1=cm+cm+2 , 只能q=1,這與q≠1矛盾,即可證明結(jié)論.

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A.
B.
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