【題目】已知函數(shù)
(1)求證:函數(shù)是偶函數(shù);
(2)當(dāng)求函數(shù)在上的最大值和最小值;
(3)若對于任意的實數(shù)恒有求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)偶函數(shù);(2)最大值是22,最小值為0;(3)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)偶函數(shù)定義進(jìn)行證明,首項確定定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,再證,(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在上單調(diào)性,根據(jù)偶函數(shù)得函數(shù)在[,]上單調(diào)性,最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值取法,(3)先求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)與分類討論,利用以及進(jìn)行證明或舉反例.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域為R,
因為,
所以函數(shù)是偶函數(shù).
(2)當(dāng)時,,則,
令,則,所以是增函數(shù),
又,所以,所以在[0,]上是增函數(shù),
又函數(shù)是偶函數(shù),
故函數(shù)在[,]上的最大值是22,小值為0.
(3),
令,則,
①當(dāng)時,,所以是增函數(shù),
又,所以,所以在[0,+∞)上是增函數(shù),
而,是偶函數(shù),
故恒成立.
②當(dāng)時,,所以是減函數(shù),
又,所以,所以在(0,+∞)上是減函數(shù),
而,是偶函數(shù),所以,與矛盾,故舍去.
③當(dāng)時,必存在唯一(0,),使得,
因為在[0,]上是增函數(shù),
所以當(dāng)x(0,x0)時,,即在(0,x0)上是減函數(shù),
又,所以當(dāng)x(0,x0)時,,,即在(0,x0)上是減函數(shù),
而,所以當(dāng)x(0,x0)時,,與矛盾,故舍去.
綜上,實數(shù)a的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,為其前項和,.
(1)求的通項公式;
(2)若,為數(shù)列的前項和,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在北上廣深等十余大中城市,一款叫“一度用車”的共享汽車給市民們提供了一種新型的出行方式.2020年,懷化也將出現(xiàn)共享汽車,用戶每次租車時按行駛里程(1元/公里)加用車時間(0.1元/分鐘)收費(fèi),李先生家離上班地點(diǎn)10公里,每天租用共享汽車上下班,由于堵車因素,每次路上開車花費(fèi)的時間是一個隨機(jī)變量,根據(jù)一段時間統(tǒng)計40次路上開車花費(fèi)時間在各時間段內(nèi)的情況如下:
時間(分鐘) | |||||
次數(shù) | 8 | 14 | 8 | 8 | 2 |
以各時間段發(fā)生的頻率視為概率,假設(shè)每次路上開車花費(fèi)的時間視為用車時間,范圍為分鐘.
(Ⅰ)若李先生上、下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘,便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇,設(shè)是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù),求的分布列和期望;
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽車2次,一個月(以20天計算)平均用車費(fèi)用大約是多少(同一時段,用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù),),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是,等邊的頂點(diǎn)都在上,且點(diǎn),,依逆時針次序排列,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.
(1)求點(diǎn),,的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)為上任意一點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列中,已知,,且,,構(gòu)成等比數(shù)列的前三項.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:()的焦點(diǎn)是橢圓:()的右焦點(diǎn),且兩曲線有公共點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,是橢圓上不同的三點(diǎn),并且為的重心,試探究的面積是否為定值.若是,求出這個定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏.將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級,隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級人數(shù)的條形圖.
(1)若將一般等級和良好等級合稱為合格等級,根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為選手成績“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)?
優(yōu)秀 | 合格 | 合計 | |
大學(xué)組 | |||
中學(xué)組 | |||
合計 |
注:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 7.879 |
(2)若參賽選手共6萬人,用頻率估計概率,試估計其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù).
(3)在優(yōu)秀等級的選手中取6名,依次編號為1,2,3,4,5,6.在良好等級的選手中取6名,依次編號為1,2,3,4,5,6,在選出的6名優(yōu)秀等級的選手中任取一名,記其編號為
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