已知M(x1,y1)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上任意一點,F(xiàn)為橢圓的右焦點.
(1)若橢圓的離心率為e,試用e、a、x1表示|MF|,并求|MF|的最值;
(2)已知直線m與圓x2+y2=b2相切,并與橢圓交于A、B兩點,且直線m與圓的切點Q在y軸的右側(cè),若a=2,b=1,求△ABF的周長.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)設F(c,0),則|MF|=
(x1-c)2+y12
=
(ex1-a)2
,-a≤x1≤a,且0<e<1,由此能求出|MF|的最值.
(2)設B(x2,y2),(x1,x2>0),在△OQA中,由|AQ|=
cx1
a
,|BQ|=
cx2
a
,求出|AB|+|AF|+|BF|=2a,由此能求出△ABF的周長.
解答: 解:(1)設F(c,0)為橢圓的右焦點,
則|MF|=
(x1-c)2+y12

x12
a2
+
y12
b2
=1
,
y12=(1-
x12
a2
)b2

∴|MF|=
(1-
b2
a2
)x12-2cx1+a2

=
c2
a2
x12-2cx1+a2

=
(ex1-a)2
,-a≤x1≤a,且0<e<1,
|MF|=a-ex1,
∴|MF|max=a+ae,|MF|min=a-ae.(4分)
(2)設B(x2,y2),(x1,x2>0),在△OQA中,
|AQ|2=x12+y12-b2,又y12=(1-
x12
a2
)b2
,
|AQ|2=
c2x12
a2
.則|AQ|=
cx1
a
,同理|BQ|=
cx2
a
,
∴|AB|+|AF|+|BF|=2a-(
c
a
x1+
c
a
x2
)+
c
a
x1+
c
a
x2
=2a,
又a=2,∴所求周長為4.(12分)
點評:本題考查線段最值的求法,考查三角形周長的求法,解題時要認真審題,注意橢圓簡單性質(zhì)的靈活運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若拋物線y2=2px的焦點與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1
的右焦點重合,則p的值為( 。
A、-2B、2C、-4D、4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=1,對任意的正整數(shù)n,都有(1-an+1)(2+an)=2,且an≠0.
(Ⅰ)求證:{
1
an
+1}
是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{
n
an
}
的前n項和.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐S-ABCD中,ABCD為矩形,SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=a(a>0),AB=2AD,SD=
3
AD
.E為CD上一點,且CE=3DE.
(1)求證:AE⊥平面SBD;
(2)求二面角A-SB-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知直線l過點M(4,0)且與拋物線y2=2px(p>0)交于A、B兩點,以弦AB為直徑的圓恒過坐標原點O.
(Ⅰ)求拋物線的標準方程;
(Ⅱ)設Q是直線x=-4上任意一點,求證:直線QA、QM、QB的斜率依次成等差數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C的焦點在x軸上,且短軸長為4,離心率e=
5
5
,
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過橢圓C的右焦點F2且斜率為2的直線交橢圓C于A、B兩點,求弦AB的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知長方形ABCD中,AB=4,BC=2,E為CD的中點,將長方形ABCD沿線段AE折起,使平面DAE⊥平面ABCE,得到四棱錐D-ABCE.

(1)求證:AD⊥BE
(2)設點P是側(cè)棱DB上一點,
DP
DB
,若二面角C-AE-P的大小為
π
4
,求λ的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

比較下列兩組數(shù)的大小,并說明理由.
(1)
7
+
10
3
+
14

(2)當x>1時,x3與x2-x+1.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集為[2,3],求實數(shù)a的值;
(2)若在(1)的條件下,存在實數(shù)t,使得f(
t
2
)≤m-f(-t)
成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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