Question

設為常數(shù)，已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．
（1）設為函數(shù)的圖像上任意一點，求點到直線的距離的最小值；
（2）若對任意的且，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）∵在區(qū)間上是增函數(shù)，
∴當時，恒成立，即恒成立，所以．
又在區(qū)間上是減函數(shù)，
故當時，恒成立，即恒成立，所以．
綜上，．
由，得，
令，則，而，
所以的圖象上處的切線與直線平行，
所以所求距離的最小值為．              （6分）
（Ⅱ）因為，則，
因為當時，恒成立，所以，
因為當時，，所以上是減函數(shù)，
從而，
所以當時，，即恒成立，所以．
因為在上是減函數(shù)，所以，
從而，即，
故實數(shù)的取值范圍是．                    （12分）
點評：近幾年新課標高考對于函數(shù)與導數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對數(shù)）函數(shù)的組合復合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數(shù)單調(diào)性、導數(shù)運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數(shù)學思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數(shù)學運算的“力量”與數(shù)學思維的“技巧”完美結(jié)合