Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n=（-1）ⁿ⁺¹•n²，觀察下列規(guī)律：
1=1；
1-4=-3=-（1+2）；
1-4+9=6=1+2+3；
1-4+9-16=-10=-（1+2+3+4）；
…
試寫出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先計(jì)算S₁=1，S₂=-（1+2），S₃=1+2+3，S₄=-（1+2+3+4），猜想數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：∵S₁=1，S₂=-（1+2），S₃=1+2+3，S₄=-（1+2+3+4），
∴猜想，Sn=(-1)n+1(1+2+3+…+n)=

(-1)n+1n(n+1)

2

．
證明
①當(dāng)n=1時(shí)，

(-1)n+1n(n+1)

2

=

(-1)2•1•2

2

=1，而已知S₁=a₁，猜想成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，Sk=

(-1)k+1k(k+1)

2

，則n=k+1時(shí)，
S_k+1=S_k+a_k+1=

(-1)k+1k(k+1)

2

+（-1）^k+2（k+1）²
=

(-1)k+2(k+1)(-k+2k+2)

2

=

(-1)k+2(k+1)(k+2)

2

，猜想成立．
由①②知Sn=

(-1)n+1n(n+1)

2

成立．

點(diǎn)評：本題考查歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法，正確猜想是關(guān)鍵．