Question

.函數(shù)f（x）=

x2-x4

|x-2|-2

．給出函數(shù)f（x）下列性質(zhì)：（1）f（x）的定義域和值域均為[-1，1]；（2）f（x）是奇函數(shù)；（3）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（4）函數(shù)f（x）有兩零點(diǎn)；（5）A、B為函數(shù)f（x）圖象上任意不同兩點(diǎn)，則

2

＜|AB|≤2．則函數(shù)f（x）有關(guān)性質(zhì)中正確描述的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：求出函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象判斷所給性質(zhì)的正誤．

解答：解：∵

x2-x4≥0 |x-2|-2≠0

∴函數(shù)定義域?yàn)?span id="xedrpbe" class="MathJye">

x|

-1≤x＜0或0＜x≤1，}
∴f(x)=

x2(1-x2)

-(x-2)-2

=

|x| 1-x2

-x

=

- 1-x2         0＜x≤1 1-x2           -1≤x＜0

作出函數(shù)圖象，如圖所示
由圖象可知函數(shù)定義域?yàn)閇-1，0）∪（0，1]，值域?yàn)椋?1，1）故（1）不正確；
∵函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且
f(-x)=

|-x| 1-(-x)2

-(-x)

=

|x| 1-x2

x

=-f(x)
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故（2）正確；
由圖象可知函數(shù)在[-1，0）上為單調(diào)增函數(shù)，在（0，1]上也是單調(diào)增函數(shù)，但在定義域上不是增函數(shù)，如-1＜1，但f（-1）＞f（1）．故（3）不正確；
由圖象可知函數(shù)的零點(diǎn)為x=-1，x=1，故（4）正確；
由圖象可知圖象為兩個(gè)四分之一個(gè)圓弧構(gòu)成，且半徑為1，最大為AB連線過(guò)原點(diǎn)時(shí)最大為2，最小為

2

，但取不到．
故（5）正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖象，并利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用．