Question

若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中“平方遞推數(shù)列”的前項積為，即，求；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記，求數(shù)列的前項和，并求使的的最小值．

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)； (Ⅲ），

解析試題分析：(Ⅰ)將點的坐標代入函數(shù)解析式得，由定義可知是“平方遞推數(shù)列”. 由得是以為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ)先由(Ⅰ)中等比數(shù)列得，故：；
(Ⅲ）先求得，再求，由，得，從而解得.
試題解析：（I）由題意得：， 即 ，
則是“平方遞推數(shù)列”．                        2分
又有得是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．4分
（II）由（I）知 ，                    5分
．8分
（III） ，                            9分
 ，                               10分
又，即，，
又 ， ．                          13分
考點：1.等比數(shù)列的判定；2.數(shù)列求和；3.數(shù)列不等式的解法